Research

การวิเคราะห์ปัญหาแผ่นบาง (Plates) ตอนที่ 3: หน่วยแรงเอกฐานในระนาบ (In-Plane Stress Singularities)


ดร.ยศ สมพรเจริญสุข

 ภาควิชาวิศวกรรมโยธา

คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานคร

การวิเคราะห์ปัญหาแผ่นบาง (Plates)

ตอนที่ 3: หน่วยแรงเอกฐานในระนาบ (In-Plane Stress Singularities)

 

ดังได้กล่าวไว้ในตอนที่ 2 ว่าด้วยสาเหตุของการเกิดหน่วยแรงเอกฐาน ณ จุดใดจุดหนึ่งในวัสดุไอโซโทรปิคบนพื้นฐานของทฤษฎียืดหยุ่นก่อให้เกิดการคราก (Yieldings) เกิดขึ้น ณ ตำแหน่งนั้น ซึ่งบ่อยครั้งมักจะเป็น จุดเริ่มต้นของการเกิดรอยร้าวในวัสดุ (Point of Crack Initiation) และนำไปสู่ การแผ่ขยายของรอยร้าว (Crack Propagation) จนกระทั่งเกิดการวิบัติขึ้น (Failures) การวิเคราะห์ปัญหาลักษณะนี้สามารถทำได้โดยอาศัยกลศาสตร์การแตกหัก (Fracture Mechanics) ซึ่งเป็นกลศาสตร์แขนงหนึ่งที่สำคัญ เมื่อประยุกต์ใช้ทฤษฎียืดหยุ่นเชิงเส้นร่วมกับสมมติฐานว่าด้วยการจำกัดการไหลพลาสติก (Plastic Flow) ให้มีขนาดเล็กมากหรือละทิ้งผลของการเปลี่ยนรูปแบบพลาสติก (Plastic Deformation) ใกล้บริเวณตรงปลายรอยร้าวซึ่งเหมาะสมกับพฤติกรรมวัสดุแบบเปราะ (Brittle Materials) พบว่า การกระจายหน่วยแรง (Stress Distributions) และองค์ประกอบของหน่วยแรง (Stress Components) ดังรูปที่ 1
 

 

สามารถประเมินหาค่าได้ภายใต้กรอบของ กลศาสตร์การแตกหักยืดหยุ่นเชิงเส้น (Linear Elastic Fracture Mechanics: LEFM) เมื่อหน่วยแรงที่เกิดมีค่าต่ำอ้างอิงกับหน่วยแรงคราก (Yield Stresses) ของกำลังวัสดุ โดยมีค่าพารามิเตอร์ที่สำคัญตัวหนึ่งและใช้ในการวิเคราะห์การแตกหัก (Fracture Analysis) คือ ค่าตัวประกอบความเข้มข้นของหน่วยแรง (Stress Intensity Factors: KN เมื่อ N=I, II, III) เป็นตัวบ่งชี้กำลังของหน่วยแรงเอกฐานที่ปลายรอยร้าวและจำแนกตามความแตกต่างระหว่างรอยร้าวที่สอดคล้องกับรูปแบบการวิบัติ (Failure Modes) ดังแสดงในรูปที่ 2 (Mode I: รูปแบบเปิด; Mode II: รูปแบบเฉือนในระนาบและ Mode III: รูปแบบเฉือนนอกระนาบ) ในที่นี้องค์ประกอบของหน่วยแรงหาได้จากสมการที่ (1) ส่วนค่าตัวประกอบความเข้มข้นของหน่วยแรงหาได้จากสมการที่ (2) สำหรับรายละเอียดที่จะกล่าวถึงนี้จะพิจารณาเฉพาะหน่วยแรงเอกฐานในระนาบของแผ่นบางซึ่งรูปแบบการวิบัติจะมีได้ในรูปแบบของ Mode I และ Mode II ดังรูปที่ 2

 

 

โดยเริ่มพิจารณาจากปัญหาของแผ่นบางอนันต์รูปลิ่ม (Infinite Wedge-Shaped Plates) ที่มีมุมแหลมกางมุม 2a ภายใต้แรงกระทำในระนาบแผ่นบางยกเว้นขอบผิวหน้าตรงที่ปราศจากหน่วยแรง (Stress-Free Faces) ตามแสดงในรูปที่ 3 ซึ่งคำตอบหาได้จากสมการที่ 3 ในพจน์ฟังก์ชันหน่วยแรง c(r,q) ด้วยวิธีการแยกตัวแปร (Separation of Variables) ดังในสมการที่ 4

 

 

4 ทำให้ได้สมการสำหรับองค์ประกอบของหน่วยแรงตามสมการที่ 7 ถึง 9 ในที่นี้ค่า λn คือ ค่าเจาะจง (Eigenvalues) ที่ต้องการทราบและบ่งบอกถึงความเป็นเอกฐาน (Singularity) ของหน่วยแรง สำหรับการกระจัด (Displacements: Ui) สามารถหาได้จากสมการที่ 10 และ 11 เมื่อรู้ค่าของฟังก์ชันฮาร์โมนิค y1(r,q)  ซึ่งสัมพันธ์กับ c(r,q) ตามสมการที่ 12 (ในที่นี้ m คือ โมดูลัสเฉือน และ n คือ อัตราส่วนปัวซองด์) สำหรับการหาค่าของ λn จะพิจารณาจากเงื่อนไขขอบของผิวหน้าตรง 3 กรณีและกำหนดระบบพิกัดอ้างอิงใหม่ดังรูปที่ 4 โดยมีเงื่อนไขขอบดังสมการที่ 13 ถึง 15 จากรูปที่ 4 เมื่อกำหนดให้ค่า n = 0.3 พบว่า เมื่อค่า λn มีค่าน้อยกว่า 1 จะเกิดหน่วยแรงเอกฐานที่จุดยอดของลิ่มโดยดูได้จากสมการที่ 5 เมื่อค่า r เข้าใกล้จุดยอด (r ® 0) นอกจากนี้ยังพบอีกว่า เงื่อนไขขอบกรณีที่ 3 จะมีค่าของความเป็นเอกฐานสูงกว่ากรณีอื่นๆ สำหรับรายละเอียดในการพิสูจน์และการคำนวณหาค่าของ λn สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ในเอกสารหมายเลข [1] และ [2] สำหรับตอนถัดไปจะกล่าวถึงหน่วยแรงเอกฐานนอกระนาบของแผ่นบาง

 

 
 
 

 

เอกสารอ้างอิง

[1]       M.L. Williams, “Stress Singularities Resulting From Various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates in Extension”, Journal of Applied Mechanics, vol.19, pp. 526-528, 1952.

[2]      Y. Sompornjaroensuk, W. Boonchareon and P. Kongtong, “Elementary Mathematical Theory for Stress Singularities at the Vertex of Plane Infinite Wedges” Advanced Studies in Theoretical Physics, vol.7, pp. 423-446, 2013.

 

<< ย้อนกลับ