Research

การวิเคราะห์ปัญหาแผ่นบาง (Plates) ตอนที่ 1: การจำแนกปัญหา (Problems Classification)


ดร.ยศ สมพรเจริญสุข
ภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์
มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีมหานคร

การวิเคราะห์ปัญหาแผ่นบาง (Plates)

ตอนที่ 1: การจำแนกปัญหา (Problems Classification)

 

การวิเคราะห์และการออกแบบโครงสร้าง (Structural Analysis & Design) ในงานวิศวกรรมโยธานั้น ผู้ออกแบบจำเป็นต้องตระหนักว่าโครงสร้าง (Structures) และองค์ประกอบของชิ้นส่วนต่างๆ ในโครงสร้าง (Members) ที่ได้ทำการออกแบบจะต้องมีความสามารถในการรองรับภาระได้อย่างปลอดภัย (ในที่นี้ “ภาระ” หมายถึง แรงกระทำต่างๆ ที่กระทำต่อโครงสร้าง) โดยไม่ก่อให้เกิดความเสียหายและไม่เกิดการเสียรูปมากเกินไปจากค่าที่ยอมให้ขณะใช้งานโครงสร้างนั้นๆ สำหรับโครงสร้างอาคารทั่วไป (รูปที่ 1 และ 2) จะประกอบไปด้วยองค์อาคารหลักของ พื้น คาน เสา และฐานราก สิ่งสำคัญประการหนึ่งของการออกแบบโครงสร้างที่ดีคือ ผู้ออกแบบจำเป็นต้องทราบถึงพฤติกรรมของวัสดุหรือองค์อาคารภายใต้ผลของภาระที่มีการกล่าวไว้ในวิชากำลังวัสดุ (Strength of Materials) ซึ่งเป็นศาสตร์หนึ่งของกลศาสตร์ของแข็งต่อเนื่อง (Continuum Solid Mechanics) ที่ตั้งอยู่บนพื้นฐานของ ทฤษฎียืดหยุ่น (Theory of Elasticity) ว่าด้วยการวิเคราะห์ผลการตอบสนองของแรงที่กระทำต่อวัสดุในพจน์ของความเค้นหรือหน่วยแรง (Stresses) ในวัสดุรวมไปถึงการเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง (Displacements) หรือการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง (Deformation) แสดงในพจน์ของความเครียด (Strains)
 

  
 

 

สำหรับประเด็นของเนื้อหาที่กำลังจะกล่าวถึงนี้เป็นการพิจารณาเฉพาะในส่วนขององค์ประกอบของโครงสร้างที่มีลักษณะเป็นแผ่นบาง (Plates) โดยมีขนาดของมิติทางกายภาพมิติหนึ่งมีค่าน้อยเมื่อทำการเปรียบเทียบกับอีกสองมิติที่เหลือดังตัวอย่างเช่น แผ่นพื้น (Slabs) ในอาคาร (รูปที่ 1 และ 3) หรือ ผนังแรงเฉือน (Shear Wall) ในรูปที่ 4 และ 5 ซึ่งการวิเคราะห์พฤติกรรมขององค์อาคารทั้งสองประเภทนี้มีความแตกต่างกันแม้ว่าลักษณะทางกายภาพจะมีลักษณะเหมือนหรือคล้ายกันคือเป็นองค์อาคารในระนาบสองมิติ (2-Dimensional Elements)
 

 

เพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์จึงจำแนกปัญหาตามลักษณะของการรับแรงกระทำจากภายนอกและการเสียรูปออกเป็นสองประเภทหลักคือ (1) แผ่นบางรับแรงกระทำในระนาบ (Plate- Extension) และ (2) แผ่นบางรับแรงกระทำนอกระนาบ (Plate-Bending) ในกรณีที่ (1) นั้นสามารถวิเคราะห์ปัญหาสอดคล้องตามทฤษฎียืดหยุ่น [1] โดยสนใจศึกษาหาค่าของหน่วยแรงต้านทานภายในและการเสียรูป ส่วนกรณีที่ (2) ใช้ทฤษฎีการดัดของแผ่นบาง (Theory of Plates) [2] ซึ่งมุ่งเน้นศึกษาหาค่าหน่วยแรงลัพธ์ภายใน (Stress Resultants) และการแอ่นตัวของแผ่นบาง (Deflections) สังเกตได้ว่าปัญหาทั้งสองประเภทนี้สามารถจัดเป็นปัญหาตามเงื่อนไขของความเค้นระนาบได้ (Plane Stress Problems) ส่วนวิธีการหาคำตอบของปัญหาโดยวิธีการเชิงวิเคราะห์ (Analytical Methods) สามารถทำได้โดยการแก้หาคำตอบของสมการควบคุมปัญหา (Governing Equation) ซึ่งอยู่ในรูปแบบของสมการอนุพันธ์แยกส่วนอันดับที่สี่ (Fourth-order Partial Differential Equation) ร่วมกับการประยุกต์เงื่อนไขขอบเขตของปัญหา (Boundary Conditions) ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์จึงอาจกล่าวได้ว่าเป็นปัญหาค่าขอบเขต (Boundary Value Problems) ส่วนรายละเอียดของการพิสูจน์ที่มาของสมการควบคุมปัญหาทั้งสองประเภทนั้นได้มีการแสดงไว้อย่างละเอียดในเอกสารอ้างอิงหมายเลข [1] และ [2]
 


 

อย่างไรก็ดีหากมิติความหนาของแผ่นบางมีค่าเพิ่มมากขึ้นอาจจำเป็นต้องใช้การวิเคราะห์ปัญหาในสามมิติในปัญหากรณีที่ (1) ส่วนปัญหากรณีที่ (2) อาจเปลี่ยนไปใช้ทฤษฎีการดัดของแผ่นหนา (Theory of Thick Plates) ซึ่งพิจารณาผลของแรงเฉือนที่มีต่อการแอ่นตัวของแผ่นร่วมด้วยดังตัวอย่างองค์ประกอบของโครงสร้างที่สอดคล้องเช่น ฐานรากตื้นหรือฐานรากแผ่ (Shallow or Spread Footings) ดังรูปที่ 6 และ 7 และฐานรากแพหรือฐานรากเสื่อ (Raft or Mat Foundations) แสดงในรูปที่ 8 เป็นต้น

 

เอกสารอ้างอิง

[1] S.P. Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, 3rd edition, McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1970.

[2] S.P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, 2nd edition, McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1959.

<< ย้อนกลับ